${\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} }$ ${\def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} }$ ${\def\braket#1{\mathinner{\left\langle{#1} \right\rangle}} }$

タイトルの ”複合n進数” というのは便宜上の用語で正式名称は知らない。ここでは各桁ごとに繰り上がる数が違う数字列のことを "複合n進数" と呼ぶこととする。例えば、 $x_1 x_0$ の0桁目*1は2進数、1桁目が3進数だとすると 00, 01, 10, 11, 20, 21 と数が増えていく。

配列をディラック表記で表示するという地味なJuliaのパッケージを作っているときにある問題に直面した

テンソル積(クロネッカー積)で作った配列のi番目ってどの基底の係数になるんだ？

と。

放っておくと忘れそうなので記録に残しておく。

Qubits 系の場合

量子コンピュータで扱われるような n-qubit 系なら話は簡単。配列のi番目の要素は ${ \displaystyle \ket{i_2} }$ ( ${ \displaystyle i_2 }$ は i の二進数表記を意味する) の係数となる。

例えば 2-qubit 状態を計算基底 $\mathcal{B} = \{ \ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11} \}$ で展開すると ${ \displaystyle \ket{\psi} = \alpha \ket{00} + \beta \ket{01} + \gamma \ket{10} + \delta \ket{11} = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{bmatrix}_\mathcal{B} }$ となるが、行列の成分を 0 始まりで数えれば 2番目の成分は $\ket{2_2} = \ket{10}$ の係数となる。

このようにqubit 系の場合は10進数を2進数に直すだけで基底がわかるので簡単。問題は qudits系 *2の場合である。

Qudits 系の場合

今、n-qudit系の i 番目の標準基底を ${ \displaystyle \ket{i} = \ket{ i_{n-1} i_{n-2} \dots i_1 i_0 } }$ とし、j 桁目の qudit の次元を $d_j$ とする。

冒頭で述べたように、qutrit-qubit 系の場合の標準基底は $\mathcal{B} = \{ \ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11}, \ket{20}, \ket{21} \}$ である。

そして、今私がやりたいことは $i$ と $d_j ~(j = 0, \cdots, n-1)$ の情報から $i_{n-1} i_{n-2} \dots i_1 i_0$ の各桁の数を求めることである。全ての qudit の次元が同じならば、qubit 程ではないが簡単に求めることができるが、より一般の状態では各 qudit の次元が違うので中々面倒な計算になる。

関係式を考える

とりあえず表にまとめてみた。
qutrit-qubit の場合

$i$	$i_1$	$i_0$
0	0	0
1	0	1
2	1	0
3	1	1
4	2	0
5	2	1

qubit-qutrit-qubit の場合

$i$	$i_2$	$i_1$	$i_0$
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	0	2	0
5	0	2	1
6	1	0	0
7	1	0	1
8	1	1	0
9	1	1	1
10	1	2	0
11	1	2	1

表とにらめっこして次のような関係式が成り立つと予測。
$i = i_0 + \sum_{k=1}^{n-1} i_k \prod_{l=0}^{k-1} d_l$
上記の表の値を具体的に代入してみても良さそう。

これより、 $i_j$ は次のように求められそうだと予測。 \begin{align} i_{n-1} &= \mathrm{div} \left(i, ~~\prod_{k=0}^{n-2} d_k \right) \\ i &\leftarrow i - i_{n-1} \prod_{k=0}^{n-2} d_k \end{align}

\begin{align} i_{n-2} &= \mathrm{div} \left(i, ~~\prod_{k=0}^{n-3} d_k \right) \\ i &\leftarrow i - i_{n-2} \prod_{k=0}^{n-3} d_k \\ &~~~~\vdots\\ i_1 &= \mathrm{div}(i, d_0)\\ i_0 &= i - i_1 d_0 \end{align}

これで無事に求めたいものが得られた。

Julia*3 で書いてみると以下のよう

julia> versioninfo()
Julia Version 0.7.0-alpha.217
Commit f90d674057 (2018-06-21 10:01 UTC)
Platform Info:
  OS: Linux (x86_64-pc-linux-gnu)
  CPU: Intel(R) Core(TM) i5-4460T CPU @ 1.90GHz
  WORD_SIZE: 64
  LIBM: libopenlibm
  LLVM: libLLVM-6.0.0 (ORCJIT, haswell)
Environment:
  JULIA_SHELL = /usr/bin/zsh

julia> function ind2Nary(m::Int, dims::Vector{Int})
    m = m - 1
    nq = length(dims)
    ar = zeros(Int, nq)
    product = prod(dims[2:end])
    for ith in 1:nq-1
        d = div(m, product)
        m = m - d * product
        product = div(product, dims[ith+1])
        ar[ith] = d
    end
    ar[end] = m
    return ar
end

julia> d = [2,3,2];

julia> for i in 1:prod(d)
           println(i-1, ": ", ind2Nary(i, d))
       end
0: [0, 0, 0]
1: [0, 0, 1]
2: [0, 1, 0]
3: [0, 1, 1]
4: [0, 2, 0]
5: [0, 2, 1]
6: [1, 0, 0]
7: [1, 0, 1]
8: [1, 1, 0]
9: [1, 1, 1]
10: [1, 2, 0]
11: [1, 2, 1]